群の定義はさらっと流そうと思ったがぼちぼち興味深いので一応触れてみる。
Denifition 1.4.
群 $G$ とはモノイドであってすべての元 $g$ に対して逆 $g^{-1}$ を持つようなものを言う。
故に $G$ は唯1つの object を持つ category であり、すべての arrow は isomorphism である。
――― モノイドを category と見た時の arrows はモノイドの元 $x,y,z, \cdots$ であった。そして identity arrow は単位元 $u$ であった。今回、群の定義より、$x^{-1},y^{-1},z^{-1}, \cdots$ が存在するので、
$x \circ x^{-1} = u = 1_G,\ x^{-1} \circ x = u = 1_G$ などが成立する。よって Definition 1.3. より、すべての arrow が isomorphism ということになる。 ―――
任意の集合 $X$ に対して automorphism*1 (或は ``permutations''*2 の群 $\mathrm{Aut}(X)$ を考える。即ち、isomorphism $f: X \to X$ のなす群である。置換群とはある集合 $X$ に対して部分群 $G \subset \mathrm{Aut}(X)$ となるようなものである。即ち、$X$ の(ある)自己同型写像のなす部分群である。故に集合 $G$ は以下を満たすことになる:
1. $X$ 上の恒等写像 $1_X \in G$
2. $g,g^\prime \in G$ の時、$g \circ g^\prime \in G$
3. $g \in G$の時、$g^{-1} \in G$
群準同型写像 $h: G \to H$ とは単にモノイドの準同型写像のことである。これは必然的に逆を保存する。
――― $g \in G$ として、$h(g)h(g^{-1}) = h(g\cdot g^{-1}) = h(u_G) = u_H$ より。―――
Theorem (Cayley)
すべての群 $G$ はある置換群に同型 (isomorphic) である。
Proof.
1. $G$ の Cayley表現 $\bar{G}$ を次のような集合の置換群として定める:
- 集合の元は $G$ のすべての元、つまり集合としては $\bar{G} = G$
- すべての $g \in G$ に対し、$\bar{g}$ を群への ``左からの作用'' $\bar{g}: G \to G, \hspace{1em} h \mapsto g\cdot h$ として定義する。
$\bar{g}(h) = \bar{g}(h^\prime)$ の時、$g \cdot h = g \cdot h^\prime$ となるが、左から $g^{-1}$ をかけて $h = h^\prime$ を得る。よって $\bar{g}$ は単射である。任意の$h \in G$ に対し、$\bar{g}(g^{-1} \cdot h) = g \cdot (g^{-1} \cdot h) = (g \cdot g^{-1}) \cdot h = u \cdot h = h$ なので全射である。自己上の全単射なので「置換」と言える。
すべての $h \in G$ に対し、$(\overline{g^{-1}} \circ g)(h) = \overline{g^{-1}}(g \cdot h) = g^{-1} \cdot (g \cdot h) = h$ であるので、$\bar{g}^{-1} = \overline{g^{-1}}$ である。
2. 次に、(群)準同型写像 $i: G \to \bar{G}, \hspace{1em} g \to \bar{g}$ と $j: \bar{G} \to G, \hspace{1em} \bar{g} \to \bar{g}(u)$ を定める。
3. $\bar{g} \to \bar{g}(u) = g \cdot u = g$ を考慮すると、$i$ も $j$ も実質恒等写像であって、$i \circ j = 1_{\bar{G}}$ と $j \circ i = 1_G$ が従う。${}_\square$
