圏論(13)と objects や arrows の記号

objectsとかarrowsを表現する記号は何だろうかと、

をプレビューなどで確認。

categoryを $\mathbf{C}$ とすると、

objects: $\mathrm{Ob}(\mathbf{C})$
arrows: $X,Y \in \mathrm{Ob}(\mathbf{C})$ に対して、 $\mathrm{hom}(X,Y),\ \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(X,Y),\ \mathrm{Morph}(X,Y)$

或は、$X$ が $\mathbf{C}$ のobjectであることを単に $X \in \mathbf{C}$ であると書いたり、 $f$ が $\mathbf{C}$ の arrow であることを $f \ \text{in} \ \mathbf{C}$ とも書くようだ。これはMac Lane本での書き方。Steve Awodey 本もこれに近いが、 $X \in \mathbf{C},\ f \in \mathbf{C}$ で表現しているようだ。こういう感じになってくると、categories は大体 $\mathbf{C}, \mathbf{D}$ で、objects は大体 $X,Y,Z$ で arrows は大体 $f,g,h$ という暗黙の了解がないと少々キモチが悪いこともあるかもしれない。例えば、category $\mathbf{C}$ の objects $A,B \in \mathbf{C}$ などと書くと、もやもやする。3つ目の object はどうなるのかね？と。太文字と通常の字という風に weight を変えたら分からんこともないのか。

$\mathrm{hom}$ や $\mathrm{Hom}$ はどうも群準同型をイメージしてしまい、写像の印象が強い。
が、Homomorphism -- from Wolfram MathWorldによると、

A term used in category theory to mean a general morphism. The term derives from the Greek $\omicron\mu\omicron$ (omo) "alike" and $\mu\omicron\rho\phi\omega\sigma\iota\sigma$ (morphosis), "to form" or "to shape." The similarity in meaning and form of the words "homomorphism" and "homeomorphism" is unfortunate and a common source of confusion.

ということで、category theory では monomorphism, epimorphism, isomorphism, endomorphism, automorphism といった役職にないような平の morphism (arrow) を homomorphism としているようだ。
うーん。
Homomorphism - Wikipedia, the free encyclopediaや準同型 - Wikipediaのような解説だと

In abstract algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures (such as groups, rings, or vector spaces). The word homomorphism comes from the ancient Greek language: ὁμός (homos) meaning "same" and μορφή (morphe) meaning "form" or "shape". Isomorphisms, automorphisms, and endomorphisms are special types of homomorphisms.

となっており、自分の中では homomorphism は ``a structure-preserving map'' として認識している。category theory と abstract algebra でもう少し用語を分けてくれんもんかねぇという気持ちがある。

らんだむな記憶

blogというものを体験してみようか！的なー

圏論(13)と objects や arrows の記号