Z ゲートの固有状態は $\ket{0}$ と $\ket{1}$ で、X ゲートの固有状態は $\ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1})$ および $\ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} - \ket{1})$ である。
Y ゲートの固有状態は、$\ket{\circlearrowleft} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + i \ket{1})$ と $\ket{\circlearrowright} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} - i \ket{1})$ である。
また、$H = \ket{+}\bra{0} + \ket{-}\bra{1} = \ket{0}\bra{+} + \ket{1}\bra{-}$ と書ける。これを用いると、$HZH = X$ つまり、
$$
\begin{align*}
HZH &= (\ket{+}\bra{0} + \ket{-}\bra{1}) (\ket{0}\bra{0} - \ket{1}\bra{1}) (\ket{+}\bra{0} + \ket{-}\bra{1}) \\
&= (\ket{+}\bra{0} + \ket{-}\bra{1}) \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}\bra{0} + \ket{0}\bra{1} - \ket{1}\bra{0} + \ket{1}\bra{1}) \\
&= (\ket{+}\bra{0} + \ket{-}\bra{1}) (\ket{0}\bra{+} - \ket{1}\bra{-}) \\
& = \ket{+}\bra{+} - \ket{-}\bra{-} \\
& = \frac{1}{2} \left( (\ket{0} + \ket{1}) (\bra{0} + \bra{1}) - (\ket{0} - \ket{1}) (\bra{0} - \bra{1}) \right) \\
& = \ket{1} \bra{0} + \ket{0} \bra{1} = X
\end{align*}
$$
が示せる。
この類の計算は面倒くさいのでユニタリ行列で直接計算したほうが簡単だが、$HXH = Z$ と $HYH = -Y$ も示せる。
$Y$ の行を上下で入れ替えると $i$ 倍を除いて $Z$ になることに注意すると、$XY = i Z$ がわかる。$X$ のユニタリ性から $X^2 = I$ であるので、$Y = i XZ$ もわかる。
