飽きたらやめようGalois理論(3)―Eisensteinの既約判定法 - らんだむな記憶でえいやとしていた部分について。
$\mathbb{F}_p[X]$ で $\bar{a}_n X^n = \bar{Q}(X)\bar{R}(X)$の時の議論。
$\mathbb{F}_p[X]$ で $\bar{Q}(X) = \bar{b}_k X^k + \cdots + \bar{b}_1 X + \bar{b}_0,\ \bar{R}(X) = \bar{c}_\ell X^\ell + \cdots + \bar{c}_1 X + \bar{c}_0,$ $\bar{b}_k \bar{c}_\ell = \bar{a}_n,\ k + \ell = n$ とする。
$\bar{b}_0 \bar{c}_0 = 0 \in \mathbb{F}_p$ であるが、 $\mathbb{F}_p$ は体 (従って整域) なので、 $\bar{b}_0 = 0 \in \mathbb{F}_p$ または $\bar{c}_0 = 0 \in \mathbb{F}_p$ である。
仮に $\bar{b}_0 = 0 \in \mathbb{F}_p$ とする。
この時、 $\bar{Q}_1(X) = \bar{b}_k X^{k - 1} + \cdots + \bar{b}_2 X + \bar{b}_1$ とすると、 $\bar{a}_n X^n = X \bar{Q}_1(X)\bar{R}(X)$ となる。再び最低次の項に着目すると、 $\bar{b}_1 \bar{c}_0 = 0 \in \mathbb{F}_p$ であるが、この時 $\bar{b}_1 = 0 \in \mathbb{F}_p$ または $\bar{c}_0 = 0 \in \mathbb{F}_p$ である。
これを繰り返すことで、 $\bar{Q}(X) = \bar{b}_k X^k,\ \bar{R}(X) = \bar{c}_\ell X^\ell$ となることが分かる。
従って、元に戻して$\Z[X]$で考えると
$Q(X) = b_k X^k + \cdots + p b_0,\ R(X) = c_\ell X^\ell + \cdots + p c_0$ となる。
えいやの部分をゆるふわで覚えておくと、Eisensteinの既約判定法の証明は超簡単なものとなる。細部を詰めるならどうアプローチしてもちょびっと計算は要るわけだが。
