\begin{equation}
P(B,C|A) = P(B|A)P(C|A) \overset{?}{\Longrightarrow} P(B,C|A^c) = P(B|A^c)P(C|A^c)
\end{equation}
はダメだな。
確率空間$\Omega$を2つのサイコロX,Yの目全体のなす集合とし、$B$をサイコロXの目が1の事象, $C$をサイコロYの目が1の事象とするとき、事象$A=B \cap C$とすると、$B \perp\!\!\!\perp C\,|\,A$ではあるが、$B \perp\!\!\!\perp C\,|\,A^c$ではないことになる。$P(B,C|A^c) = 0$になっちゃうし。
ってことで、やっぱりベイズ更新っていうか「逐次合理性」が成立するには結構な仮定が必要そうな気がするんだが？？うーーん。なんかしっくりこないなぁ。
