宇宙(universe)とな！
Mac Lane本に曰く
すべての集合からなるメタ圏 ――― これは集合ではない ――― に加えて、実際の圏であるSet、つまりすべての小さな(small)集合からなる圏が欲しい。我々は十分に大きな集合Uである「ユニバース」が存在すると仮定し、そのとき集合 $x$ がユニバースのメンバであるときに「小さい」と言い、Setをその対象の集合Uがすべての小さな集合の集合であり射が小さな集合から小さな集合へのすべての関数であるような圏とする。
というのがある。なんぞこれ？
圏論(19) - らんだむな記憶で触れたように「すべての集合からなるメタ圏」は集合ではない。
ユニバースについて読み進めると、以下のようなものである。
Definition
ユニバース(universe)は集合 $U$ で以下の(いくらか冗長な)性質を持つものと定義する:
(i)$x \in u \in U$ ならば $x \in U$,
(ii)$u \in U$ かつ $v \in U$ ならば $\{u,v\},\ \langle u,v \rangle,\ u \times v \in U$,
(iii)$x \in U$ ならば $\mathcal{P}x \in U$ かつ $\bigcup x \in U$,
(iv)$\omega \in U$ (ここで $\omega = \{0,1,2,\cdots\}$ はすべての有限順序数の集合),
(v)もし $f:a \to b$ が全射的関数で $a \in U$ かつ $b \subset U$ ならば $b \in U$
だ、そうだ...。
いまユニバース $U$ を固定しておいて、集合 $u \in U$ を小さな集合(small set)と呼ぶことにする。よってユニバース $U$ はすべての小さな集合からなる集合である。
まぁ、難しいことはさて置いて、``普通の集合'' を包括するような存在というとこか。
選択公理と数学―発生と論争、そして確立への道 | 田中 尚夫 | 本 | Amazon.co.jpでは「すべての集合からなるクラスで、集合論の宇宙とよばれる。」というものもある。宇宙... か。スケールでかいな。
Universe (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopediaによると、ここで登場している宇宙さんは、集合ではなく真クラス(proper class)というもので、von Neumann universeとも呼ばれる？ようだ。
なんか圏論の宇宙のほうは上記wikipediaによると、von Neumann universeのほうではなく、Grothendieck universeというやつのほうのようだ。定義もMac Lane本のそれと一致している。*1
The advantage of a Grothendieck universe is that it is actually a set, and never a proper class.
とか書いてあって、こっちはvon Neumann universeのような真クラスではなく本当に集合なのだそうだ。きっと公理論的集合論の意味での集合...。欠点はあまり無茶をするとぽろりもあるよと外にはみ出ることらしい。
Von Neumann–Bernays–Gödel set theory - Wikipedia, the free encyclopediaこんなんも参考になるのかもしれない。
いまいちよく分かってはいないが、Mac Lane本のSetはいわゆる「小さな圏」よりもうちょい小さいかもしれない。いわゆる「小さな圏」はMac Lane本では「すべての集合からなるメタ圏」として触れられているやつのようだ。そいつはあまり扱わずに、 objects や arrows に対して集合であるという条件よりは寧ろ、適当なユニバースという集合に含まれる「小さな集合」に限定しているようだ。これだと全部集合の世界で閉じるのでなんか安心感はありそうだ。
Category (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopediaを見つつ、「小さな圏」の場合だと真クラスでない程度に集合、であれば良さそうだ。
Small set (category theory) - Wikipedia, the free encyclopediaを読むと、``小さな集合すべてからなる圏'' を考えるのは、``集合すべてからなる圏'' だと、「んん？どこまでが集合なのかね？」という集合論的な煩わしさに遭遇するのでそれを避けるために制限をかけているようだ。
Category of sets - Wikipedia, the free encyclopediaに「真クラスはめんどなぁ～」という感じのこともある。
まぁ... あまり触れるにはやめよう。「小さな集合からなる圏」は「小さな圏」をもうちょいソフトに扱えるようにしたものくらいに解釈しておこう。そして、「小さな集合」はなんか都合の良いユニバースとかいうものを1つ固定して、そこに含まれる集合だよ、くらいにしておこう。
きっと深入りしたら帰ってこられない...。
