$A$ はエルミート行列としたので、$U = e^{itA}$ はユニタリ行列である。ここで、$t$ の存在が気になるというか、$t=1$ にして良いんじゃ？と思える。原論文 [0811.3171] Quantum algorithm for solving linear systems of equations を見ると、ハミルトニア…

ついでに勢いで LocalStack も導入しよう。ローカル環境に AWS の SaaS のエミュレータを導入するようなやつだ。色んな記事では git clone しているが、公式では pip を使えという感じなので、 $ pip install localstack する。 $ localstack start -d __ __…

息抜き用に nvm を導入して node.js を放り込む。 curl -o- https://raw.githubusercontent.com/nvm-sh/nvm/v0.39.1/install.sh | bash でインストール。~/.bashrc に export NVM_ROOT="$HOME/.nvm" if [ -d "${NVM_ROOT}" ]; then export NVM_DIR="$([ -z "…

$n$ 次正方行列 $A$ と縦ベクトル $b$ が与えられた時に、$Ax = b$ を解きたい。書籍の通りに考えることで、$A$ はエルミート行列と考えて良い。両辺を $|b|$ で割ると $A \frac{x}{|b|} = \frac{b}{|b|}$ となるが、$\frac{x}{|b|}$ と $\frac{b}{|b|}$ を…

少し古い本ではあるが、暗号理論と代数学 をもとに RSA 暗号について少し見てみたい。RSA 暗号は 1977 年に発表された公開鍵暗号ということである。以下、$\varphi$ を Euler 関数とする。 概略 $p,q$ を 201 桁以上の素数とし、非公開とする。 $N = pq$ と…

Shor のアルゴリズムは一つの目玉だと思うので、ここまで来たということで少し整理しておこう。 動機付け RSA暗号 - Wikipedia によると RSA暗号（RSAあんごう）とは、桁数が大きい合成数の素因数分解問題が困難であることを安全性の根拠とした公開鍵暗号の…

書籍 p.146 の下のほうの記述を検証しておこう:$$ \begin{align*} \sqrt{r} \sum_{j = 0}^{r - 1} \ket{u_j} &= \sum_{k = 0}^{r - 1} \sum_{j = 0}^{r - 1} e^{- 2 \pi i \frac{jk}{r}} \ket{x^k \bmod{N}} \\ &= r \ket{1} + \sum_{k = 1}^{r - 1} \frac{1…

書籍 pp.144-145 の辺りはニールセン&チャン II pp.280-283 あたりが対応する。そこそこ整数論の話題に踏み込まないとならないので、ここはそういうものとして受け入れつつ進めていく。暗号理論と代数学 で紹介されている「Solovay–Strassen 素数判定法」が…

Qiskit (32) - らんだむな記憶 の最後で触れた詳細についてニールセン&チャンに書いてあるということで調べると、II pp.73-74 で説明されているようなので、今回の 3 量子ビットのケースに当てはめて読んでみたい。この話は、$2^3 \theta \in \Z$ では自明（…

Qiskit (32) - らんだむな記憶 を少し振り返る。(2) 式は形式的に $\ket{\theta}$ という状態ベクトルがあると考えると、$$ \begin{align*} U_{QFT}\ket{\theta} \otimes \ket{\psi} \end{align*} $$という形をしている。よって、第 1 レジスタに逆量子 Four…

書籍 p.139 に書かれていることや記号が分りにくいので、計算しながら言わんとすることを検証してみる。簡単のため $n=3$ の場合を見る。2 つのレジスタが用意されており、$\ket{0}^{\otimes 3}\ket{\psi}$ で初期化されている。これにアダマールゲート $H_1…

量子 Fourier 変換の後で逆量子 Fourier 変換をすると元に戻ることも確認しておきたい。$$ \begin{align*} \begin{cases} \ket{x} \xrightarrow{QFT} \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{y=0}^{N-1} e^{2\pi i \frac{xy}{N}} \ket{y} \\ \ket{y} \xrightarrow{QFT^{-1…