[Steve Awodey本]
1.4 Examples of categories
13. monoidは単位元を持つ半群 $ M $ のこと。これを使って、category を考える。
- objects: $M $
- arrows: $x,y,z,\cdots \in M $
そして、$1_M $ に対応するのは単位元 $u$ である。
――― という見方はどうも違和感があるのだが...。$x$ を $\to_x$ などと書いてみよう。
- $\text{dom}(\to_x) = M,\ \text{cod}(\to_x) = M $ を割り合てる。つまり、$x: M \to_x M $ である。
- $x: M \to_x M $ と $y: M \to_y M $ に対して、その composition は $y \circ x \iff y\cdot x$ が対応する。
- 半群の積の性質によって、composition の結合則と単位則が従う。
まぁ... 確かに category の定義は満たしている。いままで、arrow は理想的には写像、そうでなくても二項関係くらいのものであったが、遂には半群の元にまで落ちてしまった。arrow と objects の関係が大変希薄で domain と codomain は辻褄合わせでこうならざるを得ない、という程度にしか感じない。
categoryとはこの定義を満たすものであれば何でも良い
本当に何でも良すぎてアリガトウゴザイマス。涙がでます(泣)
やはり「射」などと呼ぶと写像とかをイメージしすぎて良くない気がする。未定義語くらいでいいだろう。
category $\mathbf{Mon}$
- objects: monoids
- arrows: monoids 間の準同型写像
$M, N$ を monoids とした時、それ自身単一の object からなる categories と見做した時には、$\text{Hom}_{\mathbf{Mon}}(M, N)$ は categories $M, N$ の間の functors になる。
圏論(8) - らんだむな記憶で見た poset の視点変更と似たような感じだ。
この意味で、categories は一般化された monoids と見ることができ、そして functors は一般化された準同型写像と見ることができる。
と締めくくられる。
これで 1.4 Examples of categories は終わりだ。
Gelfand duality を記述するための言葉として、opposite category が必要なのだが、p.15 なのでもうちょっと先だなぁ...。
この辺でにょろっと圏論 - Steve Awodey著『Category Theory』を読む 1.4 Examples of Categories - Qiitaを見てみる。うーーーん。プログラミングの素人の自分にはハードルが高くてとっつきにくかった... orz
Scala のコードに僅かに ruby 的な何かを感じたのみで、それ以上は難しい。
ぼんやり眺めても、尋常ではないMapの組み合わせが出てくることが容易に想像できる。これは辛い。
まぁ、なんでもいいから得意な分野を引き合いに出して理解できれば何でも良かろう...。
