量子振幅増幅に入る前にグローバーのアルゴリズムでの操作を少し振り返ってみる。
$U_f \ket{s} = \ket{s} - \frac{2}{\sqrt{2^n}} \ket{\omega}$ であった。また、
$$
\begin{align*}
\ket{\omega^\perp} = C (\ket{s} - \frac{1}{\sqrt{2^n}} \ket{\omega})
\tag{1}
\end{align*}
$$
と置いていた。ここで $C$ は規格化定数であり、$C = \sqrt{1 - \frac{1}{2^n}}^{-1}$ である。この $\ket{\omega^\perp}$ を用いて、$U_{\omega^\perp} = 2 \ket{\omega^\perp}\bra{\omega^\perp} - I$ という操作を考えてみたい。具体的には $U_f$ と $U_{\omega^\perp}$ の関係を考えたい。
$U_{\omega^\perp} \ket{\omega} = - \ket{\omega}$, $U_{\omega^\perp} \ket{\omega^\perp} = \ket{\omega^\perp}$ が成立しており、例えば、$U_{\omega^\perp} \ket{s} = U_f \ket{s}$ を満たしている。このため両作用は一致しているのではないかと考えたいところだが、$\ket{x} \neq \ket{\omega}$ の時、$U_{\omega^\perp} \ket{x}$ と $\ket{x}$ は一般には一致しないので、$U_{\omega^\perp}$ と $U_f$ が同じとは言えない。
結局 $U_{\omega^\perp}$ は何か？を考えるには次のように考えると良さそうだ: $\ket{\omega}$ と $\ket{\omega^\perp}$ が張る（実）空間 $\mathcal{X}$ でこの 2 つのベクトルは正規直交基底になっている。この空間に $I$ を制限したものは、$I|_{\mathcal{X}} = \ket{\omega}\bra{\omega} + \ket{\omega^\perp}\bra{\omega^\perp}$ と書ける。$U_{\omega^\perp}: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ は明らかであるので、よって、$\mathcal{X}$ に制限すると、
$$
\begin{align*}
U_{\omega^\perp}|_{\mathcal{X}} &= 2 \ket{\omega^\perp}\bra{\omega^\perp} - I_{\mathcal{X}} \\
&= 2 \ket{\omega^\perp}\bra{\omega^\perp} - (\ket{\omega}\bra{\omega} + \ket{\omega^\perp}\bra{\omega^\perp}) \\
&= - \ket{\omega}\bra{\omega} + \ket{\omega^\perp}\bra{\omega^\perp}
\end{align*}
$$
となって、$\alpha \ket{\omega} + \beta \ket{\omega^\perp}$ を $- \alpha \ket{\omega} + \beta \ket{\omega^\perp}$ にうつす作用であることが分かる。要するに、空間 $\mathcal{X}$ の中で、$\ket{\omega^\perp}$ に関して反転する作用である。
(1) 式から $U_f \ket{\omega^\perp} = \ket{\omega^\perp}$ が分かるので、$U_f|_{\mathcal{X}} = U_{\omega^\perp}|_{\mathcal{X}}$ であることも従う。よって、調べたかった両作用の関係としては「$\mathcal{X}$ の中で見る限りは同じもの」ということになる。
また、同じ理屈で、適当な状態 $\ket{x}$ とそれに直交するような $\ket{x^\perp}$ が存在する時、$2 \ket{x^\perp}\bra{x^\perp} - I$ は $\ket{x}$ と $\ket{x^\perp}$ が張る 2 次元空間の中で、任意の状態を $\ket{x^\perp}$ に関して反転させる作用になる。
この辺を踏まえておくと、書籍の量子振幅増幅の説明が少し読みやすくなるように感じる。つまり、書籍の (4.13.2) 式と (4.13.3) 式は厳密には一致しないが、$\ket{\omega}$ と $\ket{\omega^\perp}$ が張る空間の中では一致するし、各演算はこの空間の中での状態の遷移を記述しているので、(4.13.5) 式も $\ket{\Omega}$ に関する状態の反転であることが即座に分かる。
