大数の法則と中心極限定理(2) - らんだむな記憶から。
$X_j$を独立同分布の確率変数とする。$X_1$の期待値を$\mu$とし分散を$\sigma^2$とする。
$S_n = \sum_{j=1}^n X_j$とおくと、以下が成立する。
$$P \left(a \le \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{\sigma^2 n}} \le b \right) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b \exp \left(- \frac{x^2}{2} \right) dx \quad (n \to \infty)$$
ってな古いネタを引っ張ってくる。
$X_1 \sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\ X_2 \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$とする時、$X_1 + X_2 \sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$となることを正規分布の再生性とかいうらしい。証明にはモーメント母関数を使うようだが、ちょっと眺めてうへぇという気分になった。
ところで、$X_1 \sim N(\mu,\sigma^2),\ X_2 \sim N(\mu,\sigma^2)$というように独立に同じ正規分布に従っているとしてみよう。さて、中心極限定理で強引に左辺と右辺を同じと思ってみよう。
$$P \left(a \le \frac{X_1+X_2 - 2\mu}{\sqrt{\sigma^2 2}} \le b \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b \exp \left(- \frac{x^2}{2} \right) dx$$
これって、要は$X_1+X_2 \sim N(2\mu,2\sigma^2)$ってことでしょ？となってしまう。
ということで平均を足し合わせて分散を足し合わさて作った正規分布に従うんだろうな、ということは中心極限定理と一緒に覚えてしまえば楽そうだ。
