ぼけーっと見てたら過去最大 2233万桁の素数発見(2016年1月24日(日)掲載) - Yahoo!ニュースという記事があった。
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2^{74207281} - 1
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だそうだ。常用対数を使ってみますかね。 $\log_{10}2 = 0.301029995\cdots$ に注意すると、底の変換を行って、
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\log_{10}2^{74207281} = \frac{\log_{2}2^{74207281}}{\log_{2}10} = \log_{2}2^{74207281} \cdot \log_{10}2
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なので、
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22338617.257 \approx 74207281 \cdot 0.30102999 < \log_{10}2^{74207281} < 74207281 \cdot 0.30103000 \approx 22338617.799
$$
となるので、桁数は $22338617 + 1 = 22338618$ 桁ということになる。こんくらいだと 1 引いても変わらないから、最初の素数の桁数もこれ。
丁度大学入試のシーズンだから、大急ぎでこれの計算に差し替えてくる大学があったら面白いなwww
