データサイエンス - らんだむな記憶の講座がちょっと退屈だったので、3講座を同時受講することにした。ファイナンシャル･プランニングの講座がその1つだ。
FP技能検定3級を暇つぶしに受けようかと問題集は買ったのに面倒くさくなって受けなかったという過去があるので、その余韻か。
税金や法律の話は疎いので、ちょっと苦手だが一応全部受講した。基本的に覚えるだけ、知らないことは調べるだけなので、確認テストは間違えるという概念が基本的にないので100%
やったーついに満点だ(棒読み)
なんか修了テスト中にでてくる「現価係数」「年金終価係数」「年金現価係数」「減債基金係数」については講義中に説明がなかったような気もするのだが、気にしたら負けだろう。というか定義など知らん。知らなくても解ける。
保険数理では「収支相等の原則」というのがあるが、あーゆーのが頭にあれば自力で計算できるからだ。というか、死亡率を考慮しない分、等比級数でさくっと計算できる。
元本Pを年利 $i$ で複利でn年運用すると、
\begin{equation}
P (1 + i)^n
\end{equation}
っちゅーのが基本だ。運用しながら、毎年元本と同額のPを追加しながら運用するなら、
\begin{equation}
P (1 + i)^n + P (1 + i)^{n-1} + \cdots + P (1 + i) = P \sum_{k = 1}^n (1 + i)^k = P (1 + i) \frac{(1 + i)^n - 1}{i}
\end{equation}
がn年後の元本の運用結果だ。n年後にS円になっていて欲しいなら、右辺をSと等号で結べば良い。固定金利だとすれば元本を幾ら用意して運用すれば良いかは簡単な割り算だ。
$(1 + i) \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$の部分には「期始払い確定年金終価」とかいう名前がついているそうで、MathJaxでちょっと綺麗に表現できないが$\ddot{s}_{\overline{n}|}$と書くようだ。はて、こいつは覚えていないのだが...。とりあえずこれを「年金終価係数」とも呼ぶ、らしい。
―――――・・・
さて、ここから遥か昔に勉強した保険数学のネタをうろ覚えまっしぐらで書く。(なんとアクチュアリー試験はクリスマスだかクリスマスイブに実施されるというなかなか嫌がらせな試験である。と思ったが今は違うのか？6年くらいそういう縛りに悩まされるのが嫌でアクチュアリーの道は考慮から外したというのに...)
とにかく保険数理は上記のような確定年金の場合と比べてもう少し難しい。ここに生存確率が絡む。$x$歳で加入してn年契約で払い込みとなった場合に、$x$歳以降の死亡率を考慮しないと金の計算が大変なことになって破綻する。$x$歳の人口を$\ell_x$で表現すると、生存率は$p_x := \frac{\ell_{x+1}}{\ell_x}$となって、こういったものを統計データとしてまとめたものが死亡表と言うらしい。縁起が悪いので「生命表」と呼ぶと聞いたことがあるが。そしてそれを最初にやったのがハレー彗星で知られるEdmond Halleyだそうだ。1693年に発表した終身年金に関する論文でそういったものを提示しているらしい。
$x$歳の人がn年後に生存している確率を${}_np_x := \frac{\ell_{x+n}}{\ell_x}$などと書く。$p_x = {}_{1}p_x$で${}_{0}p_x = 1$である。$x$歳でとあるn年期始払いの保険に契約した場合に毎年の保険料を1としてn年運用する場合に結果がどうなっていくかを生存率を考慮して考えたい。
「今という瞬間」を固定しよう。今年は1払う。今の瞬間の1は現在の価値で1である(なんてtrivial!)。次の年も1払うが生存していないと払えないので、生存確率$p_x$がかかる。また利率を考えると、「今という瞬間」での価値は、$1 \times p_x \times (1 + i)^{-1}$である。$v := (1 + i)^{-1}$と置くのがお決まりらしい。
この記号に名前があったかは忘れた。この記号を使うと、来年の保険料の現在換算の価格は$1 \times p_x \times (1 + i)^{-1} = p_x v$である。
更に次の年の保険料1の現在換算の価格は${}_2p_x v^2$である。これをn年分考えて可算すると、確率的にn年払う保険料の合算値の現在の価格に換算した値になる。
\begin{align}
& 1 + p_x (1 + i)^{-1} + \cdots + {}_{n-1}p_x (1 + i)^{-(n-1)} \\
=& 1 + p_x v + \cdots + {}_{n-1}p_x v^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} {}_{k - 1}p_x v^{k - 1} =: \ddot{a}_{x:\overline{n}|}
\end{align}
この最後の式の右辺のいかれた記号の名前も忘れた。
平準純保険料(なる小難しい用語)をPとすると、確率的に払う全保険料は$P \ddot{a}_{x:\overline{n}|}$となる。
あとは、まぁ、死亡時のみ一時払いの保険金1がおりる掛け捨ての保険だとしてこれもまた、確率的な保険金1の現在換算の値$A$... 多分記号で書くと $A_{x:\overline{n}|}\!\!\!\!{}^1$ みたいなの、があるので、
\begin{equation}
P \ddot{a}_{x:\overline{n}|} = A_{x:\overline{n}|}\!\!\!\!{}^1
\end{equation}
と置くと、確率的に保険料のトータルと保険金のトータルが釣り合って(相等)、保険のメカニズムが成立する。これを「収支相等の原則」と呼ぶ。実際には保険会社の運転資金が絡むので、営業保険料なるものを考えないとならないが、素朴な仕組みはこれ。
もう15年近く前に勉強してそれ以来なので色々あやしい。やっほ～い\(´▽｀)/
