らんだむな記憶

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圏論(23)と続・モノイド

圏論(9)とモノイド - らんだむな記憶でモノイドに登場してもらった。 $ M $ なんてお飾りみたいなものなので、この例がほとんど arrows-only category*1 の例のように思える。
さて、このモノイドであるが、Mac Lane本での登場の仕方も面白い。

モノイド $ M $ とは集合 $ M $ に2つの写像
\begin{equation}
\mu: M \times M \to M, \hspace{1em} \nu: 1 \to M
\end{equation}

が付随していて*2、 $\mu,\ \nu$ を用いた

\begin{equation}
\begin{CD}
M \times M \times M @> 1 \times \mu >> M \times M \\
@VV \mu \times 1 V \circlearrowright @VV \mu V \\
M \times M @> \mu >> M
\end{CD}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{CD}
1 \times M @> \nu \times 1 >> M \times M @< 1 \times \nu << M \times 1 \\
@VV \lambda V \circlearrowright @VV \mu V \circlearrowleft @VV \varrho V \\
M @= M @= M
\end{CD}
\end{equation}

という可換図式を考えるというのだ。 $1 \times \nu$ の $1$ は恒等写像であり、 $1 \times M $ の $1$ は一点集合 $1 = \{0\}$ *3 としている。 $\lambda,\ \varrho$ は ``射影'' であり、全単射である。
$x,y \in M $ について $\mu(x,y) = xy$ と書き、 $\nu: 1 \to M, \hspace{1em} 0 \mapsto u$ と書くことにすると、上の可換図式は以下のようになる:

\begin{equation}
\begin{CD}
\langle x,y,z \rangle @> 1 \times \mu >> \langle x,yz \rangle \\
@VV \mu \times 1 V \circlearrowright @VV \mu V \\
\langle xy,z \rangle @> \mu >> (xy)z = x(yz)
\end{CD}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{CD}
\langle 0,x \rangle @> \nu \times 1 >> \langle u,x \rangle @. \langle x,u \rangle @< 1 \times \nu << \langle x,0 \rangle \\
@VV \lambda V \circlearrowright @VV \mu V \hspace{2em} @VV \mu V \circlearrowleft @VV \varrho V \\
x @= ux @. xu @= x
\end{CD}
\end{equation}


この図式の可換性はモノイドの公理を表現するが、代数的な表現をどうすれば可換図式で表されるかを示していると解説されている。
同様にして、群, 位相群, Lie群も集合, 位相空間, 可微分多様体それぞれの圏における「図式的な」群として記述できるとある。
その後ろにも色々書いてあるがお腹いっぱいになったのでそっと本を閉じた。

*1:``meta'' を書くのも4回キーボードを打ちカロリーの無駄な消費なので避けた。

*2:$\eta$ を使いたい箇所があったが、自動リンクが張られる対象であったことと、可換図式をリンク阻止の記述で書くと無事死亡するので、 $\nu$ で代用した。

*3:別に $0$ でなくてもなんでも良い。ぶっちゃけ $\{\text{りんご}\}$ でも良い。